Aлгебра событий. Основные формулы для вычисления вероятностей событий.

Приведенные ниже определения иллюстрируются диаграммами, на которых достоверное событие I - попадание точки в квадрат, событие А - попадание точки в большой круг, событие В - попадание точки в малый круг.

Противоположные события.

Событие Ā (читается «не А » ) состоит в том, что событие А не происходит (рис.2,б). Сумма вероятностей противоположных событий равна единице :

P(A)+P(Ā)=1

P(A)=1-P(Ā)       (2)

Надежностьюэлемента называется вероятность того, что на протяжении данного отрезка времени элемент не выйдет из строя ( не откажет ).

Пример 5

Призведение событий.

Произведениемдвух событий А и В называется событие АВ , состоящее в том, что в данной опыте оба события произойдут (рис. 3).

Условнойвероятностью события В ,при условии что состоялось событие А, является величина P (B), которая высчисляется по формуле:

Вероятность произведения двух событий вычисляется по формуле:

P(AB)=P(A)Pa(B)       (3)

Для независимыхсобытий А и В условная вероятность Pa(B) совпадает с безусловной вероятностью Р(В). В этом случае формула (3) упрощается:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)       (3a)

Формулы (3) и (3а) обобщаются на произведение любого количества событий :

      (3б)

Для независимых событий:

      (3в)

Пример 6

Сумма событий

Суммойсобытий А и I называется событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно с этих событий.

На рис. 4.а показанны общие события А и I , то есть такие события , которые оба могут произойти в одном и том же опыте.

На рис. 4.б показанны события, которые в одном и том же опыте произойти не могут (не путать несовместность событий с независимостью событий ).

Для несовместных событий справедливая формула

Р(А+I)=Р(А)+Р(I)      (4)

Для совместных событий формула (4) неверна и нужно пользоваться формулой:

Р(А+I)=1-Р(ĀĪ)      (4a)

Эти формулы обобщаются на любое количество событий :

для n несовместных событий:       (4б)

для n совместных событий

       (4в)

Пример 7