Решение :
Пусть А - событие, которое состоит в том, что вынут белый шар. Опыт имеет n=5 исхода. Событию А благоприятствует m=3 исходов. Вероятность события А : P(A)=m/n=3/5.
Решение :
Пусть А - событие, которое состоит в том, что оба шара белые. Общее количество исходов равно количеству сочетаний из 10 по 2, так как любые две шара могут быть вынуты.
n=C =
.
Количество исходов , благоприятных событию А , равно количеству сочетаний из числа белых шаров по два.
m=C=
.
Следовательно, Р(А)=m/n=3/45 .
Решение :
Пусть А - событие, состоящее в том, что среди n изделий m бракованных. Общее количество исходов равно числу сочетаний из N по n. Благоприятными для события А будут те исходы , когда во взятой партии из n изделий окажутся какие-либо m из M бракованных изделий, а другие n-m будут стандартными. Количество исходов взятия бракованных изделий равно числу сочетаний с M по m , а число исходов взятия дополнительно к ним стандартных изделий равно числу сочетаний из N-M по n-m. Каждый случае взятия m бракованных изделий можно скомбинировать с каждым случаем взятия n-m стандартных изделий.
Следовательно,
P(A)= .
Решение :
Пусть Sкр=
P= =
.
Решение : _
Обозначим через А событие “ элемент откажет ” , тогда А - элемент “не откажет ” . По формуле (2) имеем:
_
P(A)=1-P(A)=1-0. 9=0.1.
Решение :
Введем обозначения:
А
1 - первая буква “Г ” ;A2 - вторая буква “ О ” ;
A3 - третья буква “ Д ” ;
A - составилось слово “ ГОД” .
Тогда А=А1А2А3 .
Р(А)=Р(А
1А2А3)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3) .Вероятности вычисляем по формуле (1).
Р(А
1)=1/3 ; РА1(А2)=1/2 ; РА1А2(А3)=1 ;Тогда Р(А)=1/3*1/2*1=1/9 .
Решение.
Введем обозначения:
А - подан сигнал тревоги ;
А
1 - сработал 1 -й сигнализатор ;А
2 - сработал 2-й сигнализатор ;А
3 - сработал 3-й сигнализатор .Событие А имеет вид :
А= А
1 + А2 + А3.Сигнализаторы могут сработать одновременно, следовательно события А
1 , А2 и А3 совместные . Пользуемся формулой (4в)._ _ _
Р(А)= Р(А
1 +А2 +А3) = 1- Р(А1А2А3) .Так как сигнализаторы работают независимо, то для вычисления вероятности Р(А
1А2А3) пользуемся формулой (3в) :_ _ _ _ _ _
Р(А
1А2А3)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)=(1-Р(А1)*(1-Р(А2)*(1-Р(А3)==(1-0.9)*(1-0.8)*(1-0.7) =0.1*0.2*0.3 =0.006;
P(A) = 1-0. 006 =0. 994.
Решение.
Схема имеет две параллельно соединенные ветви I и II .
Расчет надежности ветви I (рис.7б ).
Надежность узла А рассчитывается по формуле (6) ;
РА
=1-q1q2=1-(1-0. 1)*(1-0. 2)=1-0. 9*0.8=1-0. 72=0.28.Надежность узла В заданна : Pв=P
Тогда надежность ветви I рассчитываем по формуле (5) :
Р
Расчет надежности ветви II.
Надежность ветви II (рис.7в) рассчитывается по формуле (5) :
Р
Расчет надежности всей схемы.
Надежность всей схемы рассчитывается по формуле (6) :
Рсхеми =1-q
Решение.
Здесь событие А - наудачу взятая со склада деталь будет стандартной. Событие H - деталь изготовлена на первом станке, H
- деталь изготовлена на втором станке. Н3 - деталь изготовлена на третьем станке.
Вычислим вероятность событий Р(Нi) :
P(H)=
=0.45 ; P(H
)=
=0.3; P(H
)=
=0.25.
Находим условные вероятности Р
P(A)=
=0. 975; P
(A)=
=0.98;
P(A)=
=0. 985.
Пользуясь формулой (7) находим Р(А):
Р(А)=0.45*0. 975+0.3*0.98+0.25*0. 985=0. 979.
Решение.
Определим условные вероятности гипотез, пользуясь формулой (8) :
P(H1)=
; P
(H2)=
;
P(H3)=
;
Наиболее вероятна первая гипотеза - деталь изготовлена на первом станке. Верность вычислений подтверждается равенством :
РА(Н
1)+РА(Н2)+РА(Н3)=0. 448+0.3+0. 252=1 .Условная вероятность первой гипотезы уменьшилась, второй не изменилась, а третьей - увеличилась, то есть :
РА(Н
1)<P(H1) ; PВероятности Р(Н
1) , Р(Н2) и Р(Н3) являются доопытными (априорными) вероятностями гипотез, то есть выдвинутыми до проведения опыта, а вероятности РА(Н1), РА(Н2) и РА(Н3) - послеопытными (апостеприорными) вероятностями гипотез.Решение.
Играют два равносильных шахматиста, это означает что вероятность выигрыша р=1/2 , следовательно , вероятность проигрыша q также равно 1/2. Так как в всех партиях вероятность выигрыша постоянная и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, можно применить формулу Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии с четырех будут выиграны :
P(2)=C
.
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии с шести :
P(3)=
.
Так как Р
4(2) > PРешение.
а) Р=Р
5(0)+Р5(1)=3/16 ; б) Р=1-[PРешение.
По условию n=15, p=0.9, q=0.1. Найдем наивероятнейшее число k
15*0. 9-0. 1< k< 15*0.9+0.9, или 13.4< k
<14.4.
Так как k
Решение.
По условию n=243 ; k=70 ; p=0.25 ; q=0.75. Так как n=243 достаточно большое число , воспользуемся локальной формулой (9а) :
, где
.
Найдем значение х :
.
По таблице [прил. 1] найдем
Искомая вероятность
Решение.
Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа (9в) :
,
где
;
.
Вычислим x1 и х2 :
;
.
Учитывая, что функция Лапласа нечетная, то есть
.
По таблице [ прил. 2] найдем :
Искомая вероятность
.
Тогда
;
.
По таблице [ прил. 2] найдем :
;
Искомая вероятность
.
Найти приближенно вероятность того, что в цель попадет : 1) не одного снаряда ; 2) один снаряд ; 3) два снаряда ; 4) не менее двух снарядов.
Решение
.Воспользуемся формулой Пуассона (9б).
, где
4) k ;
.
Решение.
Отказ ламп представляет собой простейший поток событий с интенсивностью =10/10000=0. 001ч-1. Радиоаппаратура выйдет из строя , если откажет хотя бы одна лампа, то есть, если количество отказов будет равно k=1 или k=2, или k=3, или k=4 , или . . . Обозначим через А событие “откажет хотя бы одна лампа” . Тогда противоположное событие А - “не откажет ни одна лампа” (k=0).
Воспользуемся формулой (2) :
По формуле (10) при k=0 находим :
Следовательно, вероятность выхода радиоаппаратуры из строя за 100 часов непрерывной работы равна : P(A)=1-0. 9048=0. 0952.
Пример 18. Случайная величина Х задана плотностью распределения :
f(x)=
Найти параметр а, функцию распределения, математическое ожидание и вероятность попадания величины в промежуток [1, 1.5].
Решение.
Параметр а находим исходя из свойства 3 функции f(x) :
;
2
=a = a(2-1/2)=3/2a=1.
1
Тогда а = 2/3 .
Функцию F(x) находим по формуле (11):
Если
если 1
x
= =
1
если х>2, то
2
= =1.
1
Следовательно ,
Математическое ожидание найдем по формуле (13а) :
2
=
.
1
Вероятность
Р(
Решение.
По таблице (прил. 4) при и
находим
Так как q<1, то доверительный интервал находится по формуле (18) :
.
X |
0.3 |
5.3 |
8.9 |
8.9 |
8.9 |
8.9 |
5.3 |
0.3 |
8.9 |
Y |
0.3 |
8.9 |
5.4 |
7.9 |
7.5 |
7.4 |
4.9 |
3.9 |
5.6 |
Решение.
Подсчитаем суммы, входящие в формулу (20) :
Подставляя найденные значения в формулу (20) находим :
k=0.49 , b=2.73.
Уравнение линии регрессии - y=0.49x+2.73.