Повторение опытов.

Если проводятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от последствий других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаний , в каждом из которых вероятность появления события равна р ( 0<P<1), событие настанет ровно k раз (безразлично в какой последовательности ), равна :

Вероятности того, что событие наступит :

а) меньше k раз; б) более k раз; в) не меньше k раз ; г) не более k раз - находят соответственно за формулами :

а) Рn(m<k)=Pn(0)+Pn(1)+Pn(k-1) ;

б) Pn(m>k)=Pn(k+1)+Pn(k+2)+..+Pn(n) ;

в) Pn(m>=k)=Pn(k)+Pn(k+1)+..+Pn(n) ;

г) Pn(m<=k)=Pn(0)+Pn(1)+..+Pn(k) .

Пример 11

Пример 12

Найвероятнейшее число появления события в независимых испытаниях.

Число k (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называется найвероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k раз превосходит ( или по крайней мере не меньше ) вероятностей остальных возможных исходов испытаний.

Найвероятнейшее число определяется из двойного неравенства

np - q < k < np + p ,

причем:

1) если число np-q дробное, то существует одно найвероятнейшее число k ;

2) если число np-q целое, то существует два найвероятнейших числа, а именно k и k +1 ;

3) если число np целое , то найвероятнейшее число k =np .

Пример 13

Асимптотические формулы для формулы Бернулли.

При большом числе испытаний n вычисления по формуле Бернулли (9) затруднительные. В этом случае для расчетов используются различные асимптотические формулы.

Асимптотической называется приближенная формула, точность которой с ростом количества испытаний n возрастает и в пределе при n формула становится точной.

Для формулы Бернулли есть две локальные асимптотические формулы, которые позволяют вычислить приближенно Pn(k) , и одна интегральная формула, которая позволяет приближенно вычислить Pn(k1<=k<=k2) .

Локальная формула Муавра-Лапласа.

Локальная формула Пуассона.

Пример 14

Пример 15

Пример 16