Назад

Пример 1.

В корзине 3 белых и 2 черных шара. Наугад вынимается шар. Какова вероятность того , что он белый ?

Решение :

Пусть А - событие, которое состоит в том, что вынут белый шар. Опыт имеет n=5 исхода. Событию А благоприятствует m=3 исходов. Вероятность события А : P(A)=m/n=3/5.

Пример 2.

В корзине 3 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые ?

Решение :

Пусть А - событие, которое состоит в том, что оба шара белые. Общее количество исходов равно количеству сочетаний из 10 по 2, так как любые две шара могут быть вынуты.

n=C = .

Количество исходов , благоприятных событию А , равно количеству сочетаний из числа белых шаров по два.

m=C= .

Следовательно, Р(А)=m/n=3/45 .

Пример 3.

В партии из N изделий M бракованных. Из партии наугад берут n изделий. Определить вероятность того, что среди этих n изделий будет m бракованных
. ( .

Решение :

Пусть А - событие, состоящее в том, что среди n изделий m бракованных. Общее количество исходов равно числу сочетаний из N по n. Благоприятными для события А будут те исходы , когда во взятой партии из n изделий окажутся какие-либо m из M бракованных изделий, а другие n-m будут стандартными. Количество исходов взятия бракованных изделий равно числу сочетаний с M по m , а число исходов взятия дополнительно к ним стандартных изделий равно числу сочетаний из N-M по n-m. Каждый случае взятия m бракованных изделий можно скомбинировать с каждым случаем взятия n-m стандартных изделий.

Следовательно,

P(A)= .

Пример 4.

Внутрь круга радиусом R наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка будет в внутри описанного в круг квадрата. Подразумевается, что вероятность попадания точки в эту часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения относительно круга.

Решение :

Пусть Sкр= , Sкв=а , где а=R, то есть Sкв=2R ;

P= = .

Пример 5.

Пусть надежность элемента равна 0.9. Какова вероятность того, что элемент откажет ?

Решение : _

Обозначим через А событие “ элемент откажет ” , тогда А - элемент “не откажет ” . По формуле (2) имеем:

_

P(A)=1-P(A)=1-0. 9=0.1.

Пример 6.

Из трех букв разрезной азбуки составлено слово “ год” . Ребенок, который не умеет читать, рассыпал буквы и потом собирал их случайным образом. Найти вероятность того, что у него снова выйдет слово “ год ”.

Решение :

Введем обозначения:

А1 - первая буква “Г ” ;

A2 - вторая буква “ О ” ;

A3 - третья буква “ Д ” ;

A - составилось слово “ ГОД” .

Тогда А=А1А2А3 .

Р(А)=Р(А1А2А3)=Р(А1А12А1А23) .

Вероятности вычисляем по формуле (1).

Р(А1)=1/3 ; РА12)=1/2 ; РА1А23)=1 ;

Тогда Р(А)=1/3*1/2*1=1/9 .

Пример 7.

Для сигнализации об аварии установлено три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии первый сигнализатор сработает, равна 0.9. Для второго и третьего сигнализаторов - соответственно 0.8 и 0.7. Найти вероятность того, что при аварии будет подан сигнал тревоги.

Решение.

Введем обозначения:

А - подан сигнал тревоги ;

А1 - сработал 1 -й сигнализатор ;

А2 - сработал 2-й сигнализатор ;

А3 - сработал 3-й сигнализатор .

Событие А имеет вид :

А= А1 + А2 + А3.

Сигнализаторы могут сработать одновременно, следовательно события А1 , А2 и А3 совместные . Пользуемся формулой (4в).

_ _ _

Р(А)= Р(А123) = 1- Р(А1А2А3) .

Так как сигнализаторы работают независимо, то для вычисления вероятности Р(А1А2А3) пользуемся формулой (3в) :

_ _ _ _ _ _

Р(А1А2А3)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)=(1-Р(А1)*(1-Р(А2)*(1-Р(А3)=

=(1-0.9)*(1-0.8)*(1-0.7) =0.1*0.2*0.3 =0.006;

P(A) = 1-0. 006 =0. 994.

Пример 8.

Дать расчет надежность схемы (рис.7а) при заданной надежности элементов Р1=0.1 ; Р2=0.2 ; Р3=0.8.

Решение.

Схема имеет две параллельно соединенные ветви I и II .

 

Расчет надежности ветви I (рис.7б ).

Надежность узла А рассчитывается по формуле (6) ;

РА=1-q1q2=1-(1-0. 1)*(1-0. 2)=1-0. 9*0.8=1-0. 72=0.28.

Надежность узла В заданна : Pв=P=0.8.

Тогда надежность ветви I рассчитываем по формуле (5) :

Р=P*P=0.28*0.8=0. 224.

Расчет надежности ветви II.

Надежность ветви II (рис.7в) рассчитывается по формуле (5) :

Р=P*P = 0.8*0.8=0.64.

Расчет надежности всей схемы.

Надежность всей схемы рассчитывается по формуле (6) :

Рсхеми =1-q*q= 1 - (1-p)*(1-p)=1-(1-0. 224)*(1-0. 64) =0. 72064 .

Пример 9.

На трех станках-автоматах штампуются однотипные детали. Первый станок штампует 45%, второй - 30%, и третий -25% всех деталей. Брак среди изготовленных деталей для каждого станка соответственно равно 2.5% , 2% и 1.5% . Найти вероятность того, что взятая наудачу со склада деталь будет стандартной.

Решение.

Здесь событие А - наудачу взятая со склада деталь будет стандартной. Событие H - деталь изготовлена на первом станке, H - деталь изготовлена на втором станке. Н3 - деталь изготовлена на третьем станке.

Вычислим вероятность событий Р(Нi) :

P(H)= =0.45 ; P(H)= =0.3; P(H)= =0.25.

Находим условные вероятности Р(A) - вероятности изготовления стандартной детали на i- м станке:

P(A)= =0. 975; P(A)= =0.98;

P(A)= =0. 985.

Пользуясь формулой (7) находим Р(А):

Р(А)=0.45*0. 975+0.3*0.98+0.25*0. 985=0. 979.

Пример 10.

В условиях примера 9 произошло событие А, то есть наудачу взятая со склада деталь оказалась стандартной. На каком станке более всего вероятно она была изготовлена ? Сравнить условные вероятности с соответствующими им вероятностями гипотез.

Решение.

Определим условные вероятности гипотез, пользуясь формулой (8) :

P(H1)= ; P(H2)= ;

P(H3)= ;

Наиболее вероятна первая гипотеза - деталь изготовлена на первом станке. Верность вычислений подтверждается равенством :

РА1)+РА2)+РА3)=0. 448+0.3+0. 252=1 .

Условная вероятность первой гипотезы уменьшилась, второй не изменилась, а третьей - увеличилась, то есть :

РА1)<P(H1) ; P=P(H2) ; P>P(H3) .

Вероятности Р(Н1) , Р(Н2) и Р(Н3) являются доопытными (априорными) вероятностями гипотез, то есть выдвинутыми до проведения опыта, а вероятности РА1), РА2) и РА3) - послеопытными (апостеприорными) вероятностями гипотез.

Пример 11.

Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее : выиграть две партии с четырех или три партии с шести ?

Решение.

Играют два равносильных шахматиста, это означает что вероятность выигрыша р=1/2 , следовательно , вероятность проигрыша q также равно 1/2. Так как в всех партиях вероятность выигрыша постоянная и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, можно применить формулу Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии с четырех будут выиграны :

P(2)=C .

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии с шести :

P(3)= .

Так как Р4(2) > P(3) , то вероятнее выиграть две партии с четырех, чем три партии с шести.

Пример 12.

Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “ герб “ выпадает : а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Решение.

а) Р=Р5(0)+Р5(1)=3/16 ; б) Р=1-[P(0)+P(1)]=13/16 .

Пример 13.

Испытывается каждый из элементов некоторого прибора. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0.9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание .

Решение.

По условию n=15, p=0.9, q=0.1. Найдем наивероятнейшее число k из двойного неравенства np-q<k<np+p . Подставляя данные задачи, имеем :

15*0. 9-0. 1< k< 15*0.9+0.9, или 13.4< k <14.4.

Так как k - целое число и поскольку между числами 13.4 и 14.4 находится одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число k равно 14.

 

 

Пример 14.

Найти вероятность того, что событие А настанет ровно 70 раз в 243 испытаниях , если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0.25.

Решение.

По условию n=243 ; k=70 ; p=0.25 ; q=0.75. Так как n=243 достаточно большое число , воспользуемся локальной формулой (9а) :

, где .

Найдем значение х :

.

По таблице [прил. 1] найдем .

Искомая вероятность .

 

 

Пример 15.

Вероятность появления события в каждом из 10 независимых испытаний постоянна и равна 0.8. Найти вероятности того,что событие появится : 1) не менее 75 раз и не более 90 раз ; 2) не менее 75 раз ; 3) не более 74 раз .

Решение.

Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа (9в) :

,

где - функция Лапласа ;

; .

  1. по условию n=100 ; p=0.8 ; q=0.2 ; k1=75 ; k2=90 .

Вычислим x1 и х2 :

;

.

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, то есть , получим :

.

По таблице [ прил. 2] найдем : .

Искомая вероятность

    1. требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает , что число появлений события может быть равно 75, или 76 , ... , или 100 . Таким образом, в рассматриваемом случае нужно принять :

.

Тогда

;

.

По таблице [ прил. 2] найдем :

;

Искомая вероятность .

  1. события “ событие А появилось не менее 75 раз ” и “ событие А появилось не более 74 раз ” противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1. Следовательно искомая вероятность :

.

Пример 16.

По некоторой цели производиться 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одного выстреле равна 0.04.

Найти приближенно вероятность того, что в цель попадет : 1) не одного снаряда ; 2) один снаряд ; 3) два снаряда ; 4) не менее двух снарядов.

Решение.

Воспользуемся формулой Пуассона (9б).

, где

    1. k=0 ; ;
    2. k=1 ; ;
    3. k=2 ;
;

4) k ;

.

Пример 17.

В радиоаппаратуре за 10000 часов непрерывной работы происходит замена 10 ламп. Какова вероятность выхода из строя радиоаппаратуры за 100 часов непрерывной работы ?

 

 

Решение.

Отказ ламп представляет собой простейший поток событий с интенсивностью =10/10000=0. 001ч-1. Радиоаппаратура выйдет из строя , если откажет хотя бы одна лампа, то есть, если количество отказов будет равно k=1 или k=2, или k=3, или k=4 , или . . . Обозначим через А событие “откажет хотя бы одна лампа” . Тогда противоположное событие А - “не откажет ни одна лампа” (k=0).

Воспользуемся формулой (2) :

По формуле (10) при k=0 находим :

Следовательно, вероятность выхода радиоаппаратуры из строя за 100 часов непрерывной работы равна : P(A)=1-0. 9048=0. 0952.

Пример 18. Случайная величина Х задана плотностью распределения :

f(x)=

Найти параметр а, функцию распределения, математическое ожидание и вероятность попадания величины в промежуток [1, 1.5].

Решение.

Параметр а находим исходя из свойства 3 функции f(x) :

;

2

=a = a(2-1/2)=3/2a=1.

1

Тогда а = 2/3 .

Функцию F(x) находим по формуле (11):

Если , то

если 1 то =

x

= =

1

если х>2, то

 

2

= =1.

1

Следовательно ,

Математическое ожидание найдем по формуле (13а) :

2

= .

1

Вероятность находим по свойству 3 функции F(x) :

Р(

Пример 19.

По данным выборки объема n=16 найдено выборочное среднеквадратическое отклонение
Предполагая, что исследуемая величина распределена по нормальном закону , найти доверительный интервал для с надежностью

Решение.

По таблице (прил. 4) при и находим Так как q<1, то доверительный интервал находится по формуле (18) : .

Пример 20.

Данные опыта приведены в таблице. Полагая, что x и y связаны зависимостью y=kx+b , методом наименьших квадратов найти k и b.

X

0.3

5.3

8.9

8.9

8.9

8.9

5.3

0.3

8.9

Y

0.3

8.9

5.4

7.9

7.5

7.4

4.9

3.9

5.6

Решение.

Подсчитаем суммы, входящие в формулу (20) :

Подставляя найденные значения в формулу (20) находим :

k=0.49 , b=2.73.

Уравнение линии регрессии - y=0.49x+2.73.